آموزش کامل محاسبه ماتریس معکوس در SQL Server

محاسبه ماتریس معکوس در SQL Server: راهنمای کامل برای متخصصین داده

در دنیای مدرن مدیریت داده، SQL Server فراتر از یک پایگاه داده ساده عمل می‌کند و به پلتفرمی قدرتمند برای انجام محاسبات پیچیده تبدیل شده است. یکی از این محاسبات پیشرفته که می‌تواند در زمینه‌های مختلفی از جمله گرافیک کامپیوتری، رمزنگاری و آمار مفید باشد، محاسبه ماتریس معکوس است. این مقاله به بررسی چگونگی انجام این عملیات ریاضی مهم به طور مستقیم در SQL Server می‌پردازد و راهکارهایی برای پیاده‌سازی کارآمد ارائه می‌دهد.

برای محاسبه ماتریس معکوس یک ماتریس مربع (A)، ابتدا باید دو عنصر کلیدی را به دست آوریم: دترمینان ماتریس و ماتریس همسازه (Adjoint). فرمول نهایی ماتریس معکوس (Inverse(A)) شامل تقسیم ماتریس همسازه بر دترمینان ماتریس است.

**محاسبه دترمینان ماتریس در SQL Server**

دترمینان یک ماتریس مربع، یک مقدار اسکالر است که اطلاعات مهمی درباره ویژگی‌های ماتریس ارائه می‌دهد. برای یک ماتریس 3×3 به شکل زیر:

`A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]`

فرمول دترمینان به صورت زیر محاسبه می‌شود:

`Det(A) = a * (e * i – f * h) – b * (d * i – f * g) + c * (d * h – e * g)`

این مقدار باید غیر صفر باشد تا ماتریس معکوس‌پذیر باشد. در SQL Server، می‌توانیم یک تابع اسکالر تعریف کنیم تا این محاسبه را انجام دهد.

ابتدا یک جدول موقت برای نگهداری ماتریس تعریف می‌کنیم:

CREATE TABLE #Matrix (
    RowIndex INT,
    ColIndex INT,
    Value DECIMAL(18, 9)
);

سپس یک تابع برای محاسبه دترمینان 3×3 می‌سازیم:

CREATE FUNCTION dbo.CalculateDeterminant3x3 ()
RETURNS DECIMAL(18, 9)
AS
BEGIN
    DECLARE @a DECIMAL(18, 9), @b DECIMAL(18, 9), @c DECIMAL(18, 9);
    DECLARE @d DECIMAL(18, 9), @e DECIMAL(18, 9), @f DECIMAL(18, 9);
    DECLARE @g DECIMAL(18, 9), @h DECIMAL(18, 9), @i DECIMAL(18, 9);
    
    SELECT @a = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 1 AND ColIndex = 1;
    SELECT @b = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 1 AND ColIndex = 2;
    SELECT @c = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 1 AND ColIndex = 3;
    SELECT @d = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 2 AND ColIndex = 1;
    SELECT @e = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 2 AND ColIndex = 2;
    SELECT @f = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 2 AND ColIndex = 3;
    SELECT @g = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 3 AND ColIndex = 1;
    SELECT @h = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 3 AND ColIndex = 2;
    SELECT @i = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 3 AND ColIndex = 3;

    RETURN @a * (@e * @i - @f * @h) - @b * (@d * @i - @f * @g) + @c * (@d * @h - @e * @g);
END;

برای تست تابع دترمینان، ماتریس نمونه‌ای را درج می‌کنیم:

INSERT INTO #Matrix (RowIndex, ColIndex, Value) VALUES
(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3),
(2, 1, 0), (2, 2, 1), (2, 3, 4),
(3, 1, 5), (3, 2, 6), (3, 3, 0);

SELECT dbo.CalculateDeterminant3x3();

-- Expected output for this matrix is 21
-- Clean up
DROP TABLE #Matrix;
DROP FUNCTION dbo.CalculateDeterminant3x3;

**محاسبه ماتریس همسازه (Adjoint) در SQL Server**

ماتریس همسازه، ترانهاده ماتریس کوفاکتورها است. کوفاکتور هر عنصر، دترمینان زیرماتریس حذف شده از آن عنصر، ضربدر (1-)^مجموع ایندکس‌های سطر و ستون آن عنصر است. برای ماتریس 3×3 فوق، ماتریس همسازه به صورت زیر محاسبه می‌شود:

`Adjoint(A) = [[(ei-fh), -(di-fg), (dh-eg)], [-(bi-ch), (ai-cg), -(ah-bg)], [(bf-ce), -(af-cd), (ae-bd)]]`

توسط این فرمول‌ها، می‌توانیم یک تابع جدول‌بازگردان (Table-Valued Function) در SQL Server برای محاسبه ماتریس همسازه تعریف کنیم:

CREATE FUNCTION dbo.CalculateAdjoint3x3 ()
RETURNS @AdjointMatrix TABLE (
    RowIndex INT,
    ColIndex INT,
    Value DECIMAL(18, 9)
)
AS
BEGIN
    DECLARE @a DECIMAL(18, 9), @b DECIMAL(18, 9), @c DECIMAL(18, 9);
    DECLARE @d DECIMAL(18, 9), @e DECIMAL(18, 9), @f DECIMAL(18, 9);
    DECLARE @g DECIMAL(18, 9), @h DECIMAL(18, 9), @i DECIMAL(18, 9);
    
    SELECT @a = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 1 AND ColIndex = 1;
    SELECT @b = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 1 AND ColIndex = 2;
    SELECT @c = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 1 AND ColIndex = 3;
    SELECT @d = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 2 AND ColIndex = 1;
    SELECT @e = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 2 AND ColIndex = 2;
    SELECT @f = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 2 AND ColIndex = 3;
    SELECT @g = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 3 AND ColIndex = 1;
    SELECT @h = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 3 AND ColIndex = 2;
    SELECT @i = Value FROM #Matrix WHERE RowIndex = 3 AND ColIndex = 3;

    INSERT INTO @AdjointMatrix (RowIndex, ColIndex, Value) VALUES
    (1, 1, (@e * @i - @f * @h)),
    (1, 2, -(@d * @i - @f * @g)),
    (1, 3, (@d * @h - @e * @g)),
    (2, 1, -(@b * @i - @c * @h)),
    (2, 2, (@a * @i - @c * @g)),
    (2, 3, -(@a * @h - @b * @g)),
    (3, 1, (@b * @f - @c * @e)),
    (3, 2, -(@a * @f - @c * @d)),
    (3, 3, (@a * @e - @b * @d));

    RETURN;
END;

برای تست تابع همسازه:

CREATE TABLE #Matrix (
    RowIndex INT,
    ColIndex INT,
    Value DECIMAL(18, 9)
);

INSERT INTO #Matrix (RowIndex, ColIndex, Value) VALUES
(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3),
(2, 1, 0), (2, 2, 1), (2, 3, 4),
(3, 1, 5), (3, 2, 6), (3, 3, 0);

SELECT * FROM dbo.CalculateAdjoint3x3();

-- Clean up
DROP TABLE #Matrix;
DROP FUNCTION dbo.CalculateAdjoint3x3;

**محاسبه ماتریس معکوس در SQL Server**

با داشتن توابع برای دترمینان و ماتریس همسازه، می‌توانیم تابع اصلی محاسبه ماتریس معکوس را ایجاد کنیم. فرمول نهایی ماتریس معکوس (Inverse(A)) به این شکل است:

`Inverse(A) = Adjoint(A) / Det(A)`

قبل از تقسیم، لازم است اطمینان حاصل کنیم که دترمینان ماتریس (Det(A)) صفر نباشد تا از خطای تقسیم بر صفر جلوگیری شود.

CREATE FUNCTION dbo.CalculateInverse3x3 ()
RETURNS @InverseMatrix TABLE (
    RowIndex INT,
    ColIndex INT,
    Value DECIMAL(18, 9)
)
AS
BEGIN
    DECLARE @Det DECIMAL(18, 9);
    SELECT @Det = dbo.CalculateDeterminant3x3();

    IF @Det = 0
    BEGIN
        -- Handle singular matrix case, e.g., return an empty table or raise an error
        RETURN;
    END

    INSERT INTO @InverseMatrix (RowIndex, ColIndex, Value)
    SELECT
        a.RowIndex,
        a.ColIndex,
        a.Value / @Det
    FROM dbo.CalculateAdjoint3x3() AS a;

    RETURN;
END;

**تست و بهینه‌سازی عملکرد**

برای تست کامل و مشاهده عملکرد این توابع، از یک ماتریس نمونه استفاده می‌کنیم. در سناریوهای واقعی، کارایی این محاسبات در SQL Server برای ماتریس‌های بزرگتر از 3×3 ممکن است چالش‌برانگیز باشد. این رویکرد برای ماتریس‌های کوچک و محاسبات محدود مناسب است.

-- Create the temporary table and insert matrix data
CREATE TABLE #Matrix (
    RowIndex INT,
    ColIndex INT,
    Value DECIMAL(18, 9)
);

INSERT INTO #Matrix (RowIndex, ColIndex, Value) VALUES
(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3),
(2, 1, 0), (2, 2, 1), (2, 3, 4),
(3, 1, 5), (3, 2, 6), (3, 3, 0);

-- Call the inverse function
SELECT * FROM dbo.CalculateInverse3x3();

-- Expected inverse matrix for the example above:
--   1:  Row 1, Col 1:  -0.190476190
--   2:  Row 1, Col 2:   0.285714286
--   3:  Row 1, Col 3:   0.238095238
--   4:  Row 2, Col 1:   0.952380952
--   5:  Row 2, Col 2:  -0.714285714
--   6:  Row 2, Col 3:  -0.190476190
--   7:  Row 3, Col 1:  -0.238095238
--   8:  Row 3, Col 2:  -0.190476190
--   9:  Row 3, Col 3:   0.047619048

-- Clean up all created objects
DROP FUNCTION dbo.CalculateInverse3x3;
DROP FUNCTION dbo.CalculateAdjoint3x3;
DROP FUNCTION dbo.CalculateDeterminant3x3;
DROP TABLE #Matrix;

برای ماتریس‌های بزرگتر یا محاسبات مکرر، توصیه می‌شود از زبان‌های برنامه‌نویسی تخصصی‌تر در خارج از SQL Server مانند پایتون با کتابخانه‌های NumPy یا MATLAB استفاده شود، چرا که این زبان‌ها برای محاسبات جبر خطی بهینه‌سازی شده‌اند و عملکرد بهتری ارائه می‌دهند. با این حال، برای نیازهای خاص که نیاز به انجام محاسبات ماتریسی مستقیماً در پایگاه داده وجود دارد و حجم داده یا تعداد عملیات محدود است، این رویکرد در SQL Server قابل پیاده‌سازی و مفید خواهد بود.